HISTORIA
El descubrimiento de los números irracionales se le atribuye a Hipaso de Metaponto, que fue un discípulo de Pitágoras. Demostró que la raíz de
2 es un número irracional. Sin embargo, Pitágoras consideraba que la raíz del
número 2 "ensuciaba" la perfección de los números, y que por tanto no
podría existir, por lo que intentó rebatir los argumentos de Hipaso con la
lógica, por lo que le expulsaron de la Escuela Pitagórica y erigieron una tumba con su nombre, mostrando así que para
ellos, él estaba muerto.
A partir de ahí, los números irracionales entrarían en un periodo
de oscuridad, hasta que volvieran a ser estudiados por los griegos gracias a Eudoxo de Cnido. El décimo libro de la serie
Los elementos de Euclides está dedicado a la clasificación de los
números irracionales.
1. Observemos
los cuadrados ABCD y EFGH de la figura anterior, como el area de un cuadrado es
lado por lado.
2. El area del
cuadrado ABCD es 4 cm2 y el area del cuadrado EFGH es
4 cm2
2 = 2 cm2
3. Conociendo el area de unb cuadrado podemos hallar la
longitud del lado asi:
4. Para hallar el lado del cuadrado EFGH, entonces la
longitud del lado es:
l =
5. Como vemos la medida medida del lado no es numerro
entero, por que no encontramos un numero que elevado al cuadrado nos de
exactamente 2.
6. Para calcular el decimal que corresponda a la
longitud del lado utilizaremos el proceso de encajonamiento. Como 12
= 1 y 22 = 4 entonces
se encuentra
entre 1 y 2, escribierndolo de otra menera:
1 <
< 2
Numero decimal
|
Cuadrados
|
1.1
|
(1.1)2 = 1.21
|
1.2
|
(1.2)2 = 1.44
|
1.3
|
(1.3)2 = 1.69
|
1.4
|
(1.4)2 = 1.96
|
1.5
|
(1.5)2 = 2.25
|
7. Observando
las tablas anteriores podemos ver que 1.4 es una aproximacion por defecto y 1.5 es una aproximacion por exceso de
.
8. En general,
el proceso de aproximacion para acercace al valor
es asi:
¨
A menos de una
decima 1.4 <
< 1.5
¨
A menos de una
centesima 1.41 <
< 1.42
¨
A menos de una
milesima 1.414 <
< 1.415
¨
A menos de una
diezmilesima 1.4142 <
< 1.4143
¨
A menos de una
cienmilesima 1.41421 <
< 1.41422
9. Si continuamos susecivamente
el proceso podemos concluir:
¨
No podemos
determianr el volor exacto de
¨
no hay un numero
decimal que elevado al cuadrado de 2
¨
El numero decimal
que expresa
es infinito y
no periodico.
10. Teniendo en cuenta estas concliciones entonces
decimos que
es irracional
1 – Encuentra cada producto, teniendo en cuenta que
por ejemplo
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
2 - Completa la tabla 1.4 y
determina si la raiz es un numero racional o irracionalo.
N
|
Racional o irracional
|
|
200
|
||
14
|
||
1
|
||
25
|
||
12.06
|
3 – Responde F si es falso o V si es verdadero, si es F tu respuesta
entonces justificala.
a. La raiz cuadrada de todo
numero genera numero s irracionales
( )
_____________________________________________________________
b. El producto de los numeros irracionales
es un numero irracional ( )
_____________________________________________________________
c. El producto de numeros
racionales puede ser un numero irracional
( )
_____________________________________________________________
d. La suma de numeros irracionales puede ser un numero irracional
( )
_____________________________________________________________
e. La suma de dos nuemeros
racionales puede ser otro numero racional
( )
_____________________________________________________________
4. Que entiendes por numero Raciona, Irracional y cual es su
diferencia.
5 – Realizr elmentefacto sobre nuemros reales y representalo en el
diagrama de Euler Venn.
6. Escoge un numero de tes cifras y forma otro repitiendo el primero
asi: 187187. Didide este numero entre 7; despues el cociente entre 11 y por
ultimo el nuevo cociente entre 13 y contesta:
a. Obtienes divisiones exactas?
b. Al final te dio el nuemro final?
Repite este proceso con tres ejemplos mas.
7 – Si el cuadrado de un numero es un entero par, ¿se puede afirmar
que el numero es par?. Verifica tu respuesta con tres ejemplos.
8 – Si el cuadrado de un numero es multiplo de tres. ¿se puede afirmar
que el numero es multiplo de tres?
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