ALGUNOS NUMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES
Dos magnitudes son conmensurables si la razón entre
sus medidas se pueden expresar como un numero racional. En cambio son
magnitudes inconmensurables aquellas que no se pueden expresar como el cociente
de dos números enteros.
En la práctica, siempre podemos comparar dos
magnitudes y encontrar una razón exacta o aproximada entre sus medidas. Pero
siendo riesgoso no siempre es posible.
Además de las raíces cuadradas de números que no son
cuadrados perfectos, hay otros números irracionales de gran importancia como
son: el número
, que corresponde a la razón
entre la medida de la circunferencia y el diámetro; también el numero áureo y el numero e , bese de
los logaritmos neperianos.
Numero
Uno de los problemas clásicos de la antigüedad
consistía en tratar de encontrar un cuadrado cuya área fuera igual a la de un
círculo. Este problema se conocía como la cuadratura de un círculo. Este
problema rondo en las cabezas de los matemáticos durante más de 20 siglos sin
encontrar respuesta alguna. Pero los intentos por resolverlo contribuyeron a
enriquecer la matemáticas.
La respuesta a este problema está relacionado con el
número conocido
. Esta griega representa la
razón entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro
=
Es más
conocida la siguiente expresión:
Perímetro
= 2
r donde r es el radio de la circunferencia.
Para
hallar el valor de
consideramos una secuencia de
polígonos regulares inscritos en una circunferencia.
Entre mayor sea el numero de lados del polígono inscrito, su perímetro es más próximo al de la circunferencia. Podría considerarse la circunferencia como un polígono con infinito numero de lados.
La siguiente tabla muestra los valores aproximados
de la razón entre el perímetro y el doble del radio de valor uno o diámetro.
Numero de lados
|
3
|
4
|
5
|
6
|
8
|
Perímetro
|
5,19
|
5,65
|
5,87
|
6
|
6,12
|
Perímetro sobre el doble del radio
|
5,595
|
2,825
|
2,935
|
3,0
|
3,06
|
El valor aproximado del número
Si
continuamos el proceso obtendríamos un valor de
cada vez mas preciso,
lamentablemente este procedimiento no tiene fin, de modo que no sabremos cuales
el valor exacto de
sin embargo consideremos con una buena
aproximación el numero
= 3,1416
El valor de e:
Aunque
existen infinidades de número irracionales, el numero conocido como e es muy
importante en la matemáticas. Su descubrimiento fue posterior al número
. Se
escogió la letra e en memoria del matemático
suizo Leonard Euler (1707 - 1783) y se conoce como “numero Euler” . La
demostración de su irracionalidad fue dada en 1873 por Charles Hermite.
Hay una
formula sencilla para calcular su valor:
e =
En donde el
símbolo
Se conoce como factorial y representa el
producto del numero entero por su antecesor hasta el uno.
Ejemplo:
3
= 3x2x1 = 6
6
= 6x5x4x3x2x1 = 720
otra manera de representar el numero e es:
e = (1 +
)n cuando n es muy grande
Veamos la siguiente tabla:
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
8
|
10
|
100
|
1000
|
10000
|
e = (1 +
|
2
|
2,25
|
2,37
|
2,44
|
2,56
|
2,59
|
2,70
|
2,7169
|
2,7181
|
El numero e tiene muchas aplicaciones
en el campo del cálculo y el análisis. Uno de sus usos se da en los logaritmos.
Los logaritmos más utilizados tiene base 10 (logaritmos vulgares) y base e (logaritmos
naturales).
Los logaritmos naturales o neperianos son muy utilizados
y su notación es Ln que es loge es decir, logaritmo en base e.
1.
Escribe en cada casilla a cual de los conjuntos
numéricos pertenecen cada número.
|
|
N
|
Z
|
Q
|
I
|
C
|
-5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
2.
Resuelve cada una de las ecuaciones y di a que
conjunto numérico pertenece.
a.
x + 1 = 3
b.
8x = 12
c.
x + 4 = 2
d.
x2 = 2
e.
3x = 12
f.
x2 = -1
3.
Consulta:
a.
¿Qué característica tiene un número irracional?
b.
Escribe tres numero irracionales con una
aproximación de 10 cifras decimales?
4. Completa la siguiente tabla que relaciona radio y perímetro.
(P=2
r)
Radio (cm)
|
3,6
|
5,8
|
9,3
|
9,4
|
12,5
|
17,8
|
24,9
|
35,1
|
89
|
Perímetro
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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