Grado 9º. NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo es una expresión que consta de un número real sumado a un número imaginario.

Ejemplos:

a.     8 + 12i

b.    -6 + 7i

c.     4 – 9i

En general los números complejos son de la forma a + bi donde a y b son números reales e i es el imaginario y el conjunto que los contiene es C.

a + bi es un numero complejo y 0 + bi también es un numero complejo.

El sumado real del número complejo se llama parte real, y el termino que contiene a la i se llama parte imaginaria. 

                                                        a                +                        bi

                                               parte real                            parte imaginaria

 

En el numero 6 + 9i  la parte real es 6 y la parte imaginaria es 9i.

IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS

Dos números complejos son iguales si sus respectivas partes reales y partes imaginarias son iguales entre si:

a + bi = c + di si y solo si a = c y bi = di

Ejemplo  

Si los números complejos 2m + (5n - 1)i y 4 – 2i son iguales, encontrar el valor de m y n

Solución

Por definición las partes reales deben ser iguales entonces

2m = 4

m =   = 2

Igual con las partes imaginaria

5n – 1 = -2

5n = -2 + 1

5n = -1

n = 

 CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO

El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene igual la parte real pero la parte imaginaria es el opuesto aditivo.

El conjugado de a + bi es a – bi y se denota con una raya arriba del numero complejo

  = a – bi

Ejemplo

Hallar el conjugado de los siguientes números complejos

a.    12 + 4i

b.    -6 + 8i

c.    13 – 9i

d.    -8 – 10i

Solución:

a.     = 12 – 4i

b.     = -6 – 8i

c.     = 13 + 9i

d.     = -8 + 10i

ORDEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Para poder establecer un orden en cualquier  conjunto debemos estar en capacidad de decidir cuando un número es mayor que otro. Entre dos números complejos, no podemos decidir cuando un número es mayor, por ello se dice que el conjunto de números complejo no está ordenado.

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS     

Adición y sustracción con números complejos

La adición y la sustracción con números complejos se realiza de idéntica forma a la de reducción de términos semejantes, basta sumar respectivamente sus partes reales e imaginarias.

Se conmutan los términos y se reducen términos semejantes, asi.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos:

a.    (2 + 3i) + (6 – 8i)

b.     (-5 -12i ) + (5 + 13i)

Solución:

a.    (2 + 6) + (3 - 8)I = 8 + (-2i) = 8 – 2i

b.    (-5+5) + (-12 +13)i = 0 + i = i

Producto de números complejos

Para realizar el producto entre números complejos se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción.

Ejemplo:

Multiplicar (7 – 6i) x (3 – 9i)

Solución

Se multiplica cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor, así:

(7 – 6i) x (3 – 9i) = 7 x (3 – 9i) – 6i(3 – 9i)

= 21 – 63i – 18i + 54i²                    se realizo el producto respectivo y debemos tener en cuenta que i² = -1 luego tenemos,

= 21 – 63i – 18i + 54(-1) = 21 – 63i -18- -54       Reducimos temimos semejantes

= -33 – 81i

(7 – 6i) x (3 – 9i) = -33 -81i

En general si a + bi y c + di son números complejos el producto

(a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i

División de números complejos

Para realizar la división entre números complejos se escribe la división como un cociente indicado luego se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo

 Efectuar (4 + 5i)  (3 – 2i)

Solución:

Se escribe la división en forma de fracción	(4 + 5i)  (3 – 2i) =
Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador
Se efectúa el producto
Se observa que en el denominador la parte imaginaria desapareció ya que al multiplicar un complejo por su conjugado este da un número real.

 

1.    Al sumar un número real con un numero imaginario a que conjunto pertenece este nuevo número.

2.    Explica la razón matemática del surgimiento de los números enteros, racionales, reales y complejo.

3.    Determina la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos.

a.    12 +5i

b.    -3 + 8i

c.    2i + 5

d.    26i -18

e.    78 – 2i

f.      - 8i

g.  

4.    Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son falsas o verdadera y justifícalas con un ejemplo.

a.    Todo número real es complejo

b.    Todo número imaginario es complejo

c.    Algunos números reales son imaginarios

d.    Algunos números complejos son reales

e.    El cero no es complejo

f.     El producto de un numero real y un imaginario es un numero complejo

g.    Es lo mismo 2 + 6i que 6i + 2 por la propiedad conmutativa

5.    Hallar el valor de x e y de manera que cumpla la igualdad. 

a.    11x + 9yi = 22 – 18i

b.    3x + 9yi  = -12 -

c.    6x + 7yi = -45 – (3 + 5y)i

d.    4x + yi = -21 -

e.    (x - 1) = +8yi = -10 – 46i

6.    Hallar el conjugado de:

a.    9 – 8i              b. -12 + 9i                  c. 13 – 4i                   d. -12 – 16i

e.    -100 – 2i                    f. 65                            g. -5i                           h. -

7.    Responde y justifica con un ejemplo:

a.    ¿Cuál es el conjugado del conjugado de m + ni?                             

b.    ¿Dos complejos distintos pueden tener el mismo conjugado?, Explica

c.    ¿El conjugado de un número complejo puede ser el mismo número?

d.     ¿Todo número complejo tiene conjugado?

e.    ¿Al intercambiar la parte real con la imaginaria se obtiene el conjugado?

f.     ¿Puedes encontrar un subconjunto de C que este ordenado?

8.    Realiza el mentefacto del conjunto de los números C.

9.    Realiza las siguientes sumas de números complejos.

a.    (6 + 9i) + (6 + 8i)                  b. (-13 + 5i) + (12 + 2i)             

c.     (-2 – 2i) + (- 7 + 2i ) d. (100 + 15i) + (-8 – 47i)

e.    (27 + 33i) + (2 + 16i)           f. (9 + 5i) + (-4 - )

g.    ( ) + ( )               g. ( ) + (- )         

10.  Realiza los siguientes productos. 

a.    (2 – 5i) x (10 + 2i)                b. (5 + 4i) x (6 – 6i)              c. (7 – 4i) x (8 – 5i)

d.    (9 + 5i) x ( )            e. ( ) x )

f.     ) x (- 12 )        g. (0,25 ) x (-0,5 – 0,25i)  h. (5 - i) x(- 2- i)

11. ¿Cuál es el resultado de multiplicar un numero complejo por su conjugado?. Da un ejemplo de dos números complejos cuyo producto sean un número real, un número imaginario y cero.