Un número complejo es una
expresión que consta de un número real sumado a un número imaginario.
Ejemplos:
a. 8 + 12i
b. -6 + 7i
c. 4 – 9i
En general los números complejos
son de la forma a + bi donde a y b
son números reales e i es el imaginario y el conjunto que los contiene es C.
a + bi es un numero complejo y 0
+ bi también es un numero complejo.
El sumado real del número
complejo se llama parte real, y el termino que contiene a la i se llama parte
imaginaria.
a + bi
parte real parte imaginaria
En el numero 6 + 9i la parte real es 6 y la parte imaginaria es
9i.
IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS
Dos números complejos son iguales
si sus respectivas partes reales y partes imaginarias son iguales entre si:
a + bi = c + di si y solo si a = c y bi = di
Ejemplo
Si los números complejos 2m + (5n
- 1)i y 4 – 2i son iguales, encontrar el valor de m y n
Solución
Por definición las partes reales
deben ser iguales entonces
2m = 4
m =
= 2
Igual con las partes imaginaria
5n – 1 = -2
5n = -2 + 1
5n = -1
n =
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
El conjugado de un número
complejo es otro número complejo que tiene igual la parte real pero la parte
imaginaria es el opuesto aditivo.
El conjugado de a + bi es a – bi y se denota con una raya arriba del numero complejo
= a – bi
Ejemplo
Hallar el conjugado de los
siguientes números complejos
a. 12 + 4i
b. -6 + 8i
c. 13 – 9i
d. -8 – 10i
Solución:
a.
= 12 – 4i
b.
= -6 – 8i
c.
= 13 + 9i
d.
= -8 + 10i
ORDEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
Para poder establecer un orden en
cualquier conjunto debemos estar en
capacidad de decidir cuando un número es mayor que otro. Entre dos números
complejos, no podemos decidir cuando un número es mayor, por ello se dice que
el conjunto de números complejo no está ordenado.
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS
Adición y sustracción con números complejos
La adición y la sustracción con
números complejos se realiza de idéntica forma a la de reducción de términos
semejantes, basta sumar respectivamente sus partes reales e imaginarias.
Se conmutan los términos y se
reducen términos semejantes, asi.
(a + bi) + (c
+ di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplos:
a.
(2 + 3i) + (6 – 8i)
b.
(-5 -12i ) +
(5 + 13i)
Solución:
a. (2 + 6) + (3 - 8)I = 8 + (-2i) = 8 – 2i
b. (-5+5) + (-12 +13)i = 0 + i = i
Producto de números complejos
Para realizar el producto entre
números complejos se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto a la adición y sustracción.
Ejemplo:
Multiplicar (7 – 6i) x (3 – 9i)
Solución
Se multiplica cada uno de los
términos del primer factor por los términos del segundo factor, así:
(7 – 6i) x (3 – 9i) = 7 x (3 –
9i) – 6i(3 – 9i)
= 21 – 63i – 18i + 54i2
se realizo el producto respectivo
y debemos tener en cuenta que i2 = -1 luego tenemos,
= 21 – 63i – 18i + 54(-1) = 21 –
63i -18- -54 Reducimos temimos semejantes
= -33 – 81i
(7 – 6i) x (3 – 9i) = -33 -81i
En general si a + bi y c + di son números complejos el
producto
(a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i
División de números complejos
Para realizar la división entre
números complejos se escribe la división como un cociente indicado luego se
multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplo
Efectuar (4 + 5i)
(3 – 2i)
Solución:
Se escribe
la división en forma de fracción
|
(4 + 5i)
(3 – 2i) =
|
Se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador
|
|
Se efectúa el producto
|
|
Se observa
que en el denominador la parte imaginaria desapareció ya que al multiplicar
un complejo por su conjugado este da un número real.
|
|
1. Al sumar un número real con
un numero imaginario a que conjunto pertenece este nuevo número.
2. Explica la razón matemática
del surgimiento de los números enteros, racionales, reales y complejo.
3. Determina la parte real y
la parte imaginaria de los siguientes números complejos.
a.
12 +5i
b.
-3 + 8i
c.
2i + 5
d.
26i -18
e.
78 – 2i
f.
- 8i
g.
4. Analiza las siguientes
afirmaciones y determina si son falsas o verdadera y justifícalas con un
ejemplo.
a. Todo número real es
complejo
b. Todo número imaginario es
complejo
c. Algunos números reales son
imaginarios
d. Algunos números complejos
son reales
e. El cero no es complejo
f. El producto de un numero
real y un imaginario es un numero complejo
g. Es lo mismo 2 + 6i que 6i +
2 por la propiedad conmutativa
5. Hallar el valor de x e y de
manera que cumpla la igualdad.
a. 11x + 9yi = 22 – 18i
b. 3x + 9yi = -12 -
c. 6x + 7yi = -45 – (3 + 5y)i
d. 4x + yi = -21 -
e. (x - 1) = +8yi = -10 – 46i
6. Hallar el conjugado de:
a. 9 – 8i b. -12 + 9i c. 13 – 4i d.
-12 – 16i
e. -100 – 2i f. 65 g. -5i h. -
7. Responde y justifica con un
ejemplo:
a. ¿Cuál es el conjugado del
conjugado de m + ni?
b. ¿Dos complejos distintos
pueden tener el mismo conjugado?, Explica
c. ¿El conjugado de un número
complejo puede ser el mismo número?
d. ¿Todo número complejo tiene conjugado?
e. ¿Al intercambiar la parte
real con la imaginaria se obtiene el conjugado?
f. ¿Puedes encontrar un
subconjunto de C que este ordenado?
8. Realiza el mentefacto del
conjunto de los números C.
9. Realiza las siguientes
sumas de números complejos.
a. (6 + 9i) + (6 + 8i) b. (-13 + 5i) + (12 + 2i)
c. (-2 – 2i) + (- 7 + 2i ) d. (100 + 15i) + (-8 – 47i)
e. (27 + 33i) + (2 + 16i) f. (9 + 5i) + (-4 -
)
g. (
) + (
) g. (
) + (-
)
10. Realiza los siguientes productos.
a. (2 – 5i) x (10 + 2i) b. (5 + 4i) x (6 – 6i) c. (7 – 4i) x (8 – 5i)
d. (9 + 5i) x (
) e. (
) x
)
f.
) x (- 12
) g. (0,25
) x (-0,5 – 0,25i) h. (5 - i) x(- 2- i)
11. ¿Cuál es el resultado de multiplicar un numero
complejo por su conjugado?. Da un ejemplo de dos números complejos cuyo
producto sean un número real, un número imaginario y cero.
