Grado 9º. NÚMEROS IMAGINARIOS

NUMEROS IMAGINARIOS

A lo largo de nuestros estudios de los sistemas numéricos hemos encontrado que cada vez que deseamos resolver ecuaciones más complejas, el conjunto numérico en el cual se plantea ecuaciones es limitado y la solución no cae dentro de dicho conjunto.

Así paso con los números naturales, fue necesario ampliar los números a los números enteros para resolver ecuaciones de la forma a + x = b en el cual   a > b. las ecuaciones multiplicativas en los enteros no todas tienen solución en este conjunto, fue necesario ampliar a los números racionales para encontrar la solución a las ecuaciones de la forma ax = b.

En forma similar al tratar de resolver ecuaciones en los números racionales encontramos que ecuaciones de la forma x² = 2, no tiene solución en los racionales porque x =  no es un numero racional. Nuestro nuevo conjunto fue el de los números reales.

Con la ecuación x² + 1 = 0 en el conjunto de los números reales sucede algo similar. Las ecuaciones de la forma  x² + a = 0 no tienen solución, cuando a > 0 pues x² = -a de donde x =  .

Como no existe un numero real que al elevarlo al cuadrado no de cómo resultado un numero negativo, es necesario extender el conjunto de los números reales de tal manera que esta ecuación tenga solución.

Definimos como i la solución de x² + 1 = 0 es por lo tanto que x = i     

De igual manera la solución de la ecuación x² + 4 = 0 tiene por solución   x =   como  =  ; entonces   =  2i es un numero imaginario.

OPERACIONES ENTRE NUMEROS IMAGINARIOS

Las operaciones entre números imaginarios son las mismas operaciones entre números reales.

Adición y sustracción de números imaginarios

Los números imaginarios se suman con el procedimiento de reducción de términos semejantes:

Ejemplo:

Hallar la suma de:

a.     10i con 2i

b.    -19i con 14i

c.    25i con – 48i

 

Solución:

a.    10i + 2i = 12i 

b.    -19i + 14i = -5i

c.    25i + (-48i) = 25i – 48i = -23i

Producto de números imaginarios

En la multiplicación de números imaginarios debemos tener en cuenta el producto de potencias de igual base y encontrar los valores de la potencia de i.

Las potencias de i son: 1, -1, i, -i

i =	i2 =    = -1	i3 = i2 x i = -1 xi =-i	i4 = i2xi2 = -1x-1=1
Primera potencia	Segunda potencia	Tercera potencia	Cuarta potencia

Las potencias de i mayores que cuatro toman uno de los valores ya conocidos de las potencias menores o igual que 4. i⁵ = i⁴ x i = 1 x i = i

Ejemplo

Hallar los siguientes productos

a.    6i² x 2i³

b.    12i³ x 4i

Solución

a.    (6x2)(i² x i³) = 12((-1)(-i)) reemplazamos según la tabla ya vista

                  = 12(-i) = -12i

b.    (12x4)(i³ x i) = 48i⁴ = 48(i² x i²) = 48((-1)(-1)) = 48(1) = 48

La idea es reemplazar la con la ayuda de la tabla, que son los valores ya conocidos.

Cociente entre números imaginarios

Se aplica el cociente de potencias de igual base y se escribe la potencia de i que resulta según los cuatro valores conocidos.

 

Ejemplo

Hallar los siguientes cocientes

a.                 b.                   c.  

Solución:

a.    (8 4)(i^4-2) = 2i² = 2(-1) = -2

b.     (12 4)(i^3-6) = 3i^-3        debemos convertir el exponente en positivo.

 =   reemplazando según la tabla i³ = - i

= -

c.    i^5-6 = i^-1 =   =

Observaciones

·         La suma o diferencia de dos números imaginarios es otro numero imaginario. Siempre y cuando no sean opuestos aditivos.

·         El producto o cociente de números imaginarios puede ser un numero real o un numero imaginario.  

 

 

 

1.    Hallar la solución de las siguientes ecuaciones expresando las cantidades imaginarias.

a.    x² + 1 = 0      

b.    x² + 9 = 0

c.    2x² + 1 = 0

d.    3x² + 18 = 0

e.    x² + 4 = 0

f.     5x² + 125 = 0

2.    Realizar las siguientes sumas de números imaginarios

a.    9i + 12i + 5i

b.    -15i + 32i – 26i

c.    27i + 192i – 3i

d.    18i – 43i + 56i

e.    17i + 56i+ 19i

f.     -28i – 54i – 5i – 11i

g.    -29i + 45i – 18i + 37i

h.    79i – 89i – 65i – 120i

i.      450i – 325i + 987i – 1050i

3.    Realiza las siguientes multiplicaciones de números imaginarios

a.    7i x 12i²

b.    -5i³ x 4i

c.    100i x 30i

d.    23i x 7i

e.    5i x (4i – 2i)

f.     12i x 13i x (-5i)

g.    i x i xi²

h.    3i x (-105i)

i.      325i² x 12i²

4.    Realizar las siguientes operaciones

a.    (-3i + 7i) x (32i + 7i)

b.    (-4i) – 8i) x (-19i + 16i)

c.    (-5i + 12i) x (7i + 9i)

d.    (34i + 12i) x (-17i - 21)

e.    (34i + 12i) x (-2i -5i)

5.    Encuentra el valor el valor de las potencias negativas de i:

a.    i^-1                       b. i²                 c. i^-3                d. i^-4                e. i^-5                f. i^-6