COMO SURGIO?
El descubrimiento de la existencia de segmentos no conmensurables, como es el caso de la diagonal y el lado de un cuadrado, fue uno de los hechos más sorprendentes y que mayor impacto causó a los antiguos pitagóricos, para quienes los números naturales eran suficientes para explicar todas las relaciones geométricas.
La relación entre las longitudes de 2 segmentos cualesquiera siempre se daban en términos de 2 números naturales, lo cual dio lugar al concepto de razón o proporción y posteriormente de números racionales. Lo mismo sucedía con todas las magnitudes como las áreas, los volúmenes, etc.
Este hecho significaba que en cierta forma se había asumido como verdadera la afirmación: “Toda pareja de segmentos es conmensurable”.
Sin embargo, esta conjetura o hipótesis resultó falso como es el caso de la diagonal y el lado de un cuadrado.
Este descubrimiento resultó de gran trascendencia en el desarrollo de la matemática desde los griegos hasta nuestra época, pues si la relación entre estas longitudes no conmensurables no es un número racional, surge entonces la pregunta: ¿Qué clase de número es?
Esta pregunta fue hecha desde la época de la escuela pitagórica en Grecia y así se descubrieron este tipo de números llamados irracionales, nombre que parece les fue asignado por su extraña aparición y de los cuales se puede decir, de manera informal, que representan la medida de la longitud de un segmento inconmensurable con la unidad.
ACTIVIDAD
1 – Enumera el texto anterior en forma preposicional.
2 – Busca las palabras desconocidas, señala en que proposición se encuentra y busca su significado.
3 – Señala que proposiciones son relevantes y realiza un escrito de lo que entendió de las proposiciones.
Ejemplo1:
4. Las expresiones decimales infinitas tienen infinitas cifras decimales. 5. Las expresiones decimales infinitas que tienen una cifra o un grupo de cifras, que se repite indefinidamente, se llaman decimales periódicos o decimales infinitos periódicos. Por ejemplo; 3,25353...; 0,6333...
6. En las expresiones decimales infinitas periódicas, la cifra o grupo de cifras que se repite, se llama período. 7. El período se suele indicar con una barra, Por ejemplo2, 0,23825825... el período es 825 y se escribe 0,23825. 8. Cuando el período empieza inmediatamente después de la coma, el decimal se llama periódico puro. Ejemplo3, . 9. y cuando el período no empieza inmediatamente después de la coma se llama decimal periódico mixto.
Expresión racional de Decimales periódicos
10. Todo decimal periódico se puede transformar en un número fraccionario.
Decimales finitos o de período cero
11. Para expresar un decimal finito coma la razón de dos enteros se deja como numerador el decimal, sin coma. 12. Y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras como cifras decimales tenga el número decimal.
Ejemplo5,
Expresar como número racional el decimal 0,375.
Aplicando proposición 11 se escribe como numerador 375 y la proposición 12, como denominador 1000 porque hay 3 decimales.
13. La expresión decimal periódica pura también se puede escribir como una suma de fracciones decimales.
Ejemplo6
14. Por otra parte, existen expresiones decimales infinitas no periódicas que también pueden escribirse en forma de adición de fracciones decimales. 15. estas expresiones que no muestran parte periódica y que son infinitas se le conocen como números irracionales, ya que no se puede seguir una secuencia en su parte decimal.
Ejemplo6
0.0101001000100001… = 1 +1 + 1 +....
Ejemplo7
0.141592653… =
1 – Encuentra la expresion decimal de cada numero racional, sin utilizar calculadora.
a. 1 b. 7 c. 2 d. 9
2 – Expresa cada decimal periodico como la suma de fracicones decimales.
a. 0.747474… b. 0.666666… c. 8,333333 d. 7.121212
3 – En cada caso, si las tres expresiones dadas son equivalentes. Justifica tu respuesta
a. 3 = 0.428571428...= 4 + 2 + 8 + 5 +.....
b. 5 = 0.4545...=2 + 1 + 1 +....
7 5 20 250
c. 7 = 1.16667=1
6
4 – Escribe en forma de fraccion cada numero decimal.
a. 45,12 b. 7,91 c. 0.56 d. 11,897
5 – Determina si es falso o verdadero las siguients proposiciones, si es F justifica tu respuesta.
a. Todo numero racional puede expresarse mediante un decimal. ( )
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b. En una fraccion decimal periodica el periodo tien maximo 10 cifras. ( )
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c. los decimales se clasifiocan en, finitos, infinitos periodicos e infinitos no periodicos. ( ) ________________________________________________
d. Toda expresion decimal representa un raciona. ( ) __________________
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e. Un nuemero irracional es aque en que su parte deciaml es periodica ( )
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6 – Amplifica convenientemente para que el denominador sea una potencia de diez y luego escribe cada fraccion en forma decimal.
a. b. c. d. e.
7 – Compara cada pareja de numeros e identifica el mayor y el menor.
a. b. c. 0,0078 y 0.0079
d. e. f.
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