sábado, 14 de enero de 2012

grado 7º. POTENCIACION, RADICACION Y RACIONALES

UNIDAD I. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMERICOS

Conectivos Lógicos. Y teoría de conjuntos
Tablas de verdad en los diferentes conectivos lógicos
Operaciones entre conjuntos (unión, intersección, complementos, diferencia)

Números Enteros.
Operaciones básicas entre números enteros. (Suma, resta, multiplicación y división), Ecuaciones. Operaciones complementarias en números enteros (Potenciación y radicación).

Números Racionales.
Representación grafica de racionales, operaciones básicas y complementarias en racionales (Suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).




Números Decimales.
Expresión decimal de un numero racional y viceversa, operaciones básicas con números decimales (Suma, resta, multiplicación y división).





LECTURA EFECTIVA

El origen de la lógica como ciencia formal se remonta a los tiempos de Aristóteles (S. IV AC), quien fue su creador. No se sabe exactamente en que tiempo y por quien se empezó a utilizar la palabra lógica, pero se cree que pudo haber sido usada por los comentadores de Aristóteles durante los S. I y II AC.

La palabra lógica viene del griego logos, que traduce varios significados entre ellos Palabra, proposición, razón o racional, natural, obvio, entre otros. Y su estudio se centra en los principios formales del conocimiento humano.

La lógica se aplica en todas nuestras actividades diarias.  Ella nos ayuda a darle un manejo más fácil a problemas y situaciones que aparentemente se ven abstractas o complejas.

La lógica y las matemáticas están fuertemente ligadas ya que al ser las matemáticas al igual que la lógica, una ciencia formal en la que priman las verdades absolutas y los resultados exactos, la lógica forma parte de las reglas y principios con los que se opera en las diferentas ramas de la matemática.
Desde el año 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro grupos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.


ACTIVIDAD

De acuerdo a lo expuesto en la lectura afectiva responde las siguientes preguntas:

1.  Explica con tus propias palabras el concepto de “lógica”.
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2. ¿Por qué se dice que las matemáticas y lógica son ciencias formales?
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3. ¿Qué estudia la lógica matemática y como se clasifica?
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4. ¿Como explicarías la frase “La lógica matemática no es la lógica de las matemáticas, sino la matemática de la lógica”?
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5.  ¿En que situaciones de la vida cotidiana haces uso de la lógica? Explica.
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PROPOSICIONES



Una proposición es una expresión u oración que tiene sentido y mediante la cual se afirma o se niega algo que puede ser verdadero o falso.

Una proposición  puede tener solo un valor de verdad “VERDADERO O FALSO”, ya que una expresión no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.

Para representar las proposiciones siempre se utilizan las letras minúsculas, que por lo general son: p, q, r, s, t.

Ejemplos:
PROPOSICION
VALOR DE VERDAD
p: La tierra es un planeta 
               V
q: 4 + 3 = 8
               F
r: El hombre es un animal racional
               V
s:  48 X 12 = 566
               F
t:  La vocal a es abierta
               V

Las anteriores son proposiciones porque tienen sentido, y además a cada una les podemos asignar solo un valor de verdad (Verdadero o Falso).

IMPORTANTE:

v  Si una proposición contiene uno o varios sujetos y un predicado que afirma algo sobre dicho sujetos, hablamos de una proposición simple.

v  Siempre que a una proposición se le pueda asignar un valor de verdad, ya sea verdadero o falso, se tratará de una proposición cerrada.

v  Cuando de una proposición no pueda decirse que es verdadera o falsa, por tener términos aun no determinados, esta se denomina como proposición cerrada.  Ejs: p(x): X es un numero mayor que 12;  r(x): 8 x 9 = x + y.

v  Una proposición abierta se convierte en cerrada, sustituyendo el término no determinado por un valor o termino constante.
Ejemplos: p: 15 es un número mayor que 12  (V)
                 r:  8 x 9 = 60 + 15 (F).



ACTIVIDAD 


1. Clasifica las siguientes proposiciones en abiertas o cerradas, si es cerrada, asígnale el valor de verdad correspondiente.

PROPOSICION
ABIERTA
CERRADA
V
F
a) X es un animal mamífero                                             




b) El doble de 18 es 26




c) 68 + n = 132




d) Francisco es autor del libro




e) 16 es mayor que 18




f) La mitad de X es 25




g) Mayo es el sexto mes del año




h) Carlos es amigo de todos




i) 105 + 285 = 290




j) x + y = 85 - 41








2.  Teniendo en cuenta la tabla de la conjunción

p
q
p Ù q
 V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones

a.    La luna es un satélite y la tierra es un planeta
b.    9 es un numero primo y 64 tiene raíz cuadrada
c.    Un mes tiene 30 días y el sol gira alrededor de la tierra

3.  Escribe 5 proposiciones simples verdaderas y 5 falsas   

4. teniendo en cuenta estrictamente el siguiente texto determine el valor de verdad de las siguientes de proposiciones y justifica tu respuesta.

El pequeño Pedro vela cierto día se sentó en una silla de su casa a comer pastel. Mientras comía sintió que en el pastel había un trozo de fruta y dijo: ¡que suerte tengo!

a.    Pedro es de baja estatura  (   )                 d. Pedro es de poca edad   (   )
b.    El pastel era de frutas             (   )             e. Pedro se sentó por que estaba
c.    Pedro estaba en su casa   (   )                     sentado. (   )

5 – El papa de Juan le a contado que esta preparando una fiesta sorpresa para el cumpleaños de su mama y le ha hecho prometer que no se lo dirá a nadie. ¿Qué debe responder Juan si su mama le pregunta acerca de la fiesta, teniendo en cuenta que Juan siempre dice la verdad?   

6 – Cuando Paola le pregunta a Mario acerca de su dia, Mario le cuenta que hoy su dia fue maravilloso, pues fue soleado y jugo futbol con sus amigos, después tomo un almuerzo ligero y regreso a casa. Si nada de lo que dijo Mario fue verdad ¿Cómo crees que fue su dia?

7 – Forma 5 proposiciones compuestas utilizando los conectivos “y, o, entonces”  a partir de las siguientes oraciones:

a.    Hoy va a llover                    b.  las clases se suspenderán
c.       el profesor no puede venir      

8 – Consulta sobre las tablas de disyunción implicación y equivalencia, ¿Qué son os conjuntos por comprensión y por extensión?





 TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente


DE LAS PROPOSICIONES A LOS CONJUNTOS

La lógica de predicados y la teoría de conjuntos esta relacionadas y las operaciones que se aplican para las proposiciones también se aplican para las operaciones entre conjuntos.

CONJUNCION E INTERSECCION

Al unir dos proposiciones con el conectivo “Λ = y” se forma una proposición compuesta, la cual dice que esta formada por medio de la conjunción de dos proposiciones.

La conjunción de dos proposiciones es verdadera cuando ambas son verdaderas.

Ejemplo: La proposición “Tolima es un país y esta ubicado en el continente americano” es falsa ya que “Tolima es un país” es una proposición cerrada falsa.

Como a partir de proposiciones se determinan conjuntos, la conjunción de dos proposiciones determina una intersección de ellos.   
Ejemplo:

Si A = { x / x es una vocal }            y        B = {x / x es una letra de la palabra amor}

A interceptado B  = A B = {x / x es una vocal y una letra de la palabra amor}

Entonces en forma general:

A B = {x / x  A ,Λ, x  B}

Representado en el diagrama de Venn












ACTIVIDAD
1.    Con base a los siguientes conjuntos escribe cada uno de sus elementos

A = {x / x es un numero primo entre 1 y 15} entonces A = {  ?  }
B = {x / x es un numero par mayor que 10 pero menor que 40}
C = {x / x es un múltiplo de 2 menor que 20}
D = {x / x es un numero impar entre 1 y 20 }

2.    Determina las siguientes operaciones y represéntala en el diagrama de Venn.  

a.    A ∩ B                         d. B ∩ C
b.    A ∩ C                        e. B ∩ D
c.    A ∩ D                        f.  C ∩ D





Se simbolizan como Z, y son todos aquellos números que se pueden contar ya sea de manera positiva o negativa.

Los números enteros están conformados por los números positivos, los números negativos y el cero y surgieron de la necesidad de la solución general a la sustracción (resta).

La sustracción de números naturales es posible siempre que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Por ejemplo: 20 – 3 = 17 porque 3 + 17 = 20
En general: " a, b  Î N  con  a  ³ b
                        a – b = c ÎÛ b + c = a
Donde a es el minuendo, b es el sustraendo y c es la diferencia.

Cuando el minuendo es menor que el sustraendo, la operación no es posible en el conjunto de los números naturales (N).

Por ejemplo: la sustracción 20 – 22 =? ; No existe un número natural que sumándole 22 nos dé 20. 22 + ____ = 20.

Sin embargo, en la vida real son muchos los problemas que nos conducen a operaciones de este tipo, como la necesidad de representar simbólicamente expresiones como: una deuda de $30.000, En Pasto  el termómetro marcó 5° bajo cero a las 4:00 a.m.

Situaciones como las anteriores justifican la necesidad de ampliar en conjunto de los números naturales (N), introduciendo un nuevo conjunto llamado Conjunto de los Números Enteros.

El conjunto de los números enteros se simboliza  por Z y está formado por los enteros positivos (Z+), el cero y los enteros negativos (Z-).
 Z = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Los enteros positivos (Z+) son los mismos números naturales (N), por tanto, todo número que no tenga signo se considera positivo.







1. ADICION EN Z.

v  Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores y a la suma se les asigna el signo común de los sumandos.

Ejemplos: a) 3 + 7 = 10                        b)  -8 + (-15) = -23   
                 c) 15 + 14 = 39                    d)  -12 + (-28) = -40

v  Para sumar dos números enteros de diferente signo se restan y finalmente se coloca el signo del sumando mayor el resultado.

Ejemplos: a) 3 + (-7) = -4                        b)  -8 + 15 = 7   
                 c) -15 + 18 = 3                    d)  12 + (-28) = -16

2. SUSTRACCION EN Z.

Para restar dos números enteros se suma al minuendo  el inverso aditivo del sustraendo. Según lo anterior, en el conjunto Z, siempre es posible la sustracción ya que se puede transformar en una suma de inversos.

Ejemplos: a) (-3) – (+4) es igual a (-3) + (-4) = -7
                 b) (-2) – (-6) es igual a  (-2) + (+6) = 4
                 c) 8 – (-12) es igual a 8 + (+12) = 20
Para operar los números enteros es importante tener en cuenta la simplificación de signos:

(+a) + (+b) =  a + b
(+a) – (+b) =  a – b
(+a) – (-b)  =  a + b
(-a)  – (-b)  = -a - b




1 – realizar las siguientes adiciones de enteros.

a. (+3) + (+2)        c. (+3) + (-2)       e. (-4) + (-7) + (-5)     g. (-10) + (+8) +(-4) +(-2) 
b. (-5) + (-3)          d. (-7) + (+6)       f.  (-4) + (-9) + (+6)    h. (-3) + (+8) + (-15) + (-3)

2. Resta los siguientes números enteros transformando en adiciones.

a. (-15) – (+14)      c. (+17) – (-32)       e. (-462) – (-198)    g.  (-1450) – (-6241)
b. (+19) – (-13)      d. (-45) – (+88)       f. (+776) – (+594)   h. (+1596) – (-6258)

3. Resuelve las siguientes operaciones.

a.    – 5 + 9 – 8 + 6 – 7  + 12
b.    21 + 65 – 89 – 21 + 7 – 18
c.    25 – ( - 12) + ( 56) – (30) – (-30)
d.    – 58 – 26 + (- 12) – (-15) + (- 15 )
e.    – (- 165) + (256) – 165 + (- 256)

4. Al subir una montaña, la temperatura baja 5°C cada 1.000m. En la base de la montaña  la temperatura  es 20°C. La montaña tiene una altura aproximada de 8.000m desde la base hasta la cima. ¿Cuál será la temperatura en la cima?

A. –20°C                   B. 20°C                      C. –40°C                   D. 40°C

Las preguntas 4  y  5 se responden según la siguiente información.


 Un auto recorre 40 metros a la derecha y retrocede 30 metros; luego recorre adelante 20 metros y retrocede 35 metros.
5. Al expresar como un número entero cada uno de los desplazamientos que realizó el auto se tiene:

A. +40, +30, -20, -35        B. –40, -30, -20, +35               C. +40, +30, +20, -35.
D.+40,-30,+20,-35
3. MULTIPLICACION EN Z.

Para multiplicar dos números enteros debemos realizar el producto de los números normalmente.
Una vez multiplicados los números entonces para colocar el signo de la respuesta multiplicamos los signos aplicando la ley de signos de la siguiente manera:

(+)
.
(-)
=
-
(-)
.
(+)
=
-
(+)
.
(+)
=
+
(-)
.
(-)
=
+

De esta manera el producto de dos números de mismo signo será positivo, y el producto de dos números de signo contrario será negativo.

Ejemplos: a. (+10) . (-6) = -60                 c. (+25) . (+8) = +200
                 b. (-15) . (+7) = -105               d. (-18) . (-20) = +360

4. DIVISION EN Z.

La división de números enteros se define como la operación inversa a la multiplicación que busca uno de los factores conociendo el otro factor y el producto.

Al igual que en la multiplicación en la división de enteros se cumple la ley de los signos:

(+)
÷
(-)
=
-
(-)
÷
(+)
=
-
(+)
÷
(+)
=
+
(-)
÷
(-)
=
+


Ejemplos: a. (+55) ÷ (-11) = -5                   c. (+120) ÷ (+10) = +12    
                 b. (-80) ÷ (+4) = -20                   d. (-35) ÷ (-7) = +5



SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION

Los signos de agrupación son herramientas que permiten ordenar y separar distintas operaciones, las cuales conllevan a un solo resultado.

Cuando se usan signos de agrupación, se quiere indicar que las cantidades que encierran representan un solo término o resultado. Se utilizan, principalmente 3 clases de signos de agrupación:

a.    Paréntesis: (…)
b.    Corchetes:  […]
c.    Llaves:        {…}

En las expresiones en las que intervienen distintos tipos de signos de agrupación, se comienza resolviendo las operaciones de los paréntesis que están en el interior y luego las operaciones de los que están en el exterior.

En la interpretación de los signos de agrupación, antes de los paréntesis que encierran una expresión o polinomio, se presentan los siguientes casos:

v  Cuando el paréntesis esta precedido del signo + , se suprime el paréntesis manteniendo los signos que se encontraban al interior del mismo.

Ejemplo: (54 - 62) x [55 + (24 - 77 + 68 – 144)]
          =       -8 x (55 + 24 – 77 +68 – 144)
          =       -8 x (-74) =
          =        592    

v  Cuando el paréntesis es precedido del signo - , se suprime el paréntesis y se cambian todos los signos de los términos que intervienen en la operación.

Ejemplo: [75 ÷ (-5)]  x  [87 - (45 + 37 – 88 + 50)] 
          =       - 15       x  (87 - 45 – 37 +88 -50)
          =        -15       x   43
          =        - 645




1. Efectúa las siguientes operaciones:

a. -67 x (-25)                        e. 54 x (17 + 65)                    i. [19 + (-31)] + 17
b.  - [18 x 40] + 28                f. -62 x (-19)                          j. 43 x (-32) x 71
c. [15 x (-38)] + 30               g. 81 - [(-94) x 27]                 k. - [(-48) x (-54)]
d. -32 + [(-24) x 12]              h. - [62 x (-31)] +17               l. - [10 x (-64)] +26

2. Busca el número entero que reemplaza el espacio en cada operación:

a.  □ x (-8) = 48                   d. -38  x (-62) =  □                 g. -65 x □   = -455
b.  - [58 x 40] = □                 e.  -12 x □   = 48                   h.  57 x (-40) = □
c. – 5 x  □  = 70                    f.   □   x  (-9) = -99                 i.  -(-39 x 12) = □

3. Calcula los siguientes cocientes de enteros:

a. 64  ÷ (-8)           d.  - 300 ÷ 15                    g. – 81 ÷ ( -27)
b. 72 ÷ (-9)            e. -125 ÷ 5                        h. 1440 ÷ (- 24)
c. 144 ÷ (-12)         f. - 310 ÷ (-62)                   i.  -2585  ÷ 25

4. Resuelve las siguientes operaciones con signos de agrupación:

a. [-300 + (-76)] + (-8)                              d. (272 + 400)  ÷  (-12)
b. -560 + (-63 + 23)                                  e.  [-(120 + 45) – 3]   ÷   4
c.  – (922 – 426)  ÷  (-62)                          f.  81 x  [-5 + (-4)]

5.  Sin realizar las operaciones, determina el signo de las siguientes expresiones:

a.  (-56) ÷ 8                          (   )                      f. - 80 ÷ (-8)                               (   )
b. -1 x (-1) x (-1) x (-1) x 1   (   )                     g. -75 ÷ 15                                  (   )
c. (-3) x 5 x (-5) x 7              (   )                     h. - (-45 x 7) ÷ (-5)                      (   )
d. - 45 ÷ (-9)                         (   )                     i. (18 x 25) ÷ (- 27 – 14 + 41)     (   )
e. 5 x 4 x (-5) ÷ 2                 (   )                     j. – (84 ÷ 7)   x  (-121 ÷ 11)         (   )



ECUACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS

Una ecuación es una expresión u operación matemática en la cual puede haber uno o varios términos indeterminados llamados incógnitas, y que además siempre tiene un igual, que divide la ecuación en dos.

Los problemas que se traducen en una ecuación aditiva, por lo general presentan una suma o resta indicada de números enteros. De la misma manera, los problemas que conducen a una ecuación multiplicativa, presentan una multiplicación o una división indicada.

Para resolver una ecuación es necesario tener en cuenta dos reglas fundamentales:

1. Si un término está sumando a un lado de la ecuación, este pasa a restar al otro lado de la ecuación y viceversa.

Ejemplos: a.  X + 19 = 47, entonces:                       b.  - 129 = X - 89, entonces:
                      X = 47 – 19                                              - 129  + 89 = X
                      X = 28                                                      - 40  =  X    ó   X = - 40

                 c.  15 + X – 21 = - 33                              d.  -23 + 57 – X = 95
                       X = - 33 – 15 + 21                                  -23 + 57 -95 = X 
                       X =  - 27                                                 -61 = X   ó   X = -61
2. Si un término esta multiplicando a un lado de la ecuación, este pasa a dividir al otro lado de la ecuación y viceversa.

Ejemplos: a. – 81*X  = 3                                          b.   X ÷ 105 = 3
                     X =  - 81 ÷ 3                                              X =  3*105
                     X = - 27                                                     X =  315
                 c.  (– 65 – 35) ÷ X = - 25                         d.   X ÷ (-250) = 40*5
                      - 100 ÷ X = - 25                                        X ÷ (-250) = 200
                      -100 = - 25*X                                            X = 200 * 250
                      -100 ÷ (-25) = X                                        X  = 50000
                       4 = X     ó    X = 4



1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a.  - 300 + X = -658                                h. -3X = 89
b.  -560 + X = -87                                    i. -2345 ÷ X = 67
c. – (210 – X) = -2                                   j. 200X = -1000
d. – (x – 78) = -7                                     k. -700 ÷ X = 35
e.  – 922 – X = -23                                  l. 23X = -1794
f. -272 + X = -98                                    m. -966 ÷ X = 46
g. -100 – X = -11                                    n. 123X = 15129


Es una operación en la cual un numero entero denominado base, se multiplica por si mismo una cantidad n de veces llamada exponente. Es decir:

Si a es un número entero y n un número natural, se define:

an = a  x  a  x  a  x a  x  a x ….. x a   (Donde a se repite n veces)

En la anterior expresión a se llama base y n exponente.

Potencia de base positiva.

Si la base es un número entero positivo, el resultado de la potencia es un número entero positivo.

Ejemplos: a.  34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81  
            b. 53 = 5 x 5 x 5  = 125




Potencia de base negativa.

Si la base es un número entero negativo, el resultado de la potencia es un número positivo si el exponente es un número par y el resultado es un número negativo si el exponente es un número impar.

Ejemplos: a.  (-2)6 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 32
                 b.  (-7)3 = (-7) x (-7) x (-7) = -343
Potencia de exponente negativo.

Si la potencia tiene un número entero negativo, esta reconvierte en un fraccionario, cuyo numerador es 1 y el denominador es la potencia con exponente positivo.
Ejemplos: a.                      b.   

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

La potenciación cumple con las siguientes propiedades:


v  PROPIEDAD MODULATIVA: Todo número entero elevado al exponente 1, da como resultado el mismo numero.

Ejemplos:  a.  71 = 7                         b. -91 =  -9                c.  101 = 10


v  PROPIEDAD ANULATIVA: Todo  número entero elevado al exponente cero, da como resultado 1 si es positivo, y -1 si es negativo.

Ejemplos:   a.  80 = 1                    b.  -120 = -1                 c.  -1500 = -1


v  PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: Se mantiene la base y se suman los exponentes.

Ejemplos:  a.   32 x  35 = 32+5 = 37 = 2187
                 b.   24 x 2-6 = 24+(-6) = 2-2 =


v  COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE: Se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

Ejemplos: a.    

                      b.      
                           c.    

v  POTENCIA DE UN PRODUCTO: Si se eleva un producto a un exponente, la operación equivale al producto de cada factor elevado al exponente.

Ejemplos:  a.  [(-5) x 2]6  = (-5)6 x 26 = 15625 x 64 = 1000000

                            b.  [(-3) x 5]3  = (-3)3 x 53 = -27 x 125 = -3375


v  POTENCIA DE UNA POTENCIA: Si se eleva una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

          
           Ejemplos:  a.  [(-5)2]3  = (-5)2x3 x (-5)6 = 15625

                             b. 










1. resuelve las siguientes potencias, utilizando las diferentes propiedades.

a)         b)          c)        d) 

e)          f)               g)         h)  

i)         j)          K)        l) 

m)          n)            o)            p)




La radicación es la operación opuesta a la potenciación, en la cual se tiene el exponente y el resultado de la potencia, pero se busca la base. Es decir:

Si a y b son números enteros y n es un numero natural, entonces la raíz n-ésima de a es b, si y solo si bn = a.  en símbolos:    

, si y solo si bn = a

Donde n es el índice de la raíz, a es el radicando y b es la raíz o resultado

Ejemplos: a.  , porque 42 = 16         b.  , porque 23 = 8

  c. , porque 35 = 243                d.   , porque 103 = 1000

     
RAÍZ CON RADICANDO NEGATIVO: Si el índice de la raíz es un número par la raíz no tiene solución en los números reales, pero si el índice de la raíz es un número impar, entonces el resultado será negativo.

Ejemplos:  a.  , no tiene solución ya que no existe un numero entero que                           elevado a la 4 de cómo resultado -16.

                   b. , porque -55 = -3125

POSIBLES RESULTADOS DE UNA RAÍZ: Si el índice de la raíz es un número par y el radicando es positivo, es posible obtener dos resultados, uno positivo y otro negativo que corresponden a la  raíz   y a su opuesto.

Ejemplos: a.  , ya que 34 = 81 y también (-3)4 = 81

                 b.  , ya que 26 = 64 y también (-2)6 = 64

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

v  RAÍZ DE UN PRODUCTO: La raíz  n – ésima de un producto es igual a la raíz n – ésima del primer factor por la raíz n- ésima del segundo factor…etc.

Ejemplos: a. 
                       
                           b. 


v  RAÍZ DE UN COCIENTE: La raíz n –ésima de un cociente, es igual a la raíz n – ésima del divisor, sobre la raíz n –ésima del dividendo.

Ejemplos: a.


                            b.     

v  RAÍZ DE UNA RAÍZ: Si una raíz es a su vez el radicando de una nueva raíz, se mantiene el primer radicando y se multiplican los índices.

           Ejemplos: a.

                            b. 

v  RAÍZ DE UNA POTENCIA: La raíz n - ésima de un numero entero elevado a la n, da como resultado el mismo numero.

           Ejemplos: a.              b.               c. 
Si el exponente del radicando es  diferente al índice de la raíz, el resultado será igual a la raíz elevada al exponente.

Ejemplos: a.

                      b. 


Resuelve las siguientes raíces, utilizando la descomposición en factores primos y donde sea necesario, utilizando las propiedades vistas en clase.

a.     b.        c.

d.   e.            f. 


g.         h.            i.                 j. 


k.                     l.                 m.  
     


n.                 o.            p.         q.



LOS NUMEROS RACIONALES


Al resolver ecuaciones multiplicativas en los números enteros se puede observar que no siempre la solución es un número entero.

Por ejemplo: - 3X = 18
                        X =  18 ÷ (-3)
                        X =  -6
La anterior ecuación tiene como resultado un número entero, Pero la ecuación:

2X = 15            X    = 15 ÷ 2  ó   ,  el cual no es un numero entero
Por lo anterior es necesario ampliar el sistema numérico conocido para que todas las ecuaciones de la forma ax = b tengan solución. Este conjunto de números se llama el conjunto de los números racionales.

De esta forma, todos los números que se puedan expresar como el cociente de dos números enteros, siempre y cuando el denominador sea diferente de cero, se considera como racional. Lo anterior se denota como:



Todo número entero se puede expresar como numero racional, cuyo denominador es 1 y así se tiene que Z  está contenido en Q.

Ejemplos: -8 se puede escribir   , y también 0 se puede expresar como 
Además todo número entero se puede expresar como el cociente de dos enteros:
Ejemplos:   a. el numero -7 se puede escribir como 
                 
                   b. El numero -1 se puede escribir como 
Las fracciones , , ,  y   también son números racionales porque están escritos como el cociente de dos números enteros.

Los decimales 0,02; 1,8; 3,25, etc. son también números racionales porque se pueden escribir como el cociente de dos números enteros.
;   ;   , etc.

RACIONALES EQUIVALENTES:

Dos números racionales representan el mismo numero si el producto del numerador del primero por el denominador del segundo es igual al producto del denominador del primero por el numerador del segundo.

Ejemplos:  a. , porque 1 x 45 = 3 x 15, en ambos casos es igual a 45.

      b.   , porque (-8) x 18 = 6 x (-24), en ambos casos es igual a -144


RACIONALES PROPIOS E IMPROPIOS:

Un número racional se considera propio cuando su numerador es menor a su denominador.

Ejemplos:    , es decir que todos los racionales impropios son todos aquellos menores que 1.

Un número racional se considera impropio cuando su numerador es mayor a su denominador.
Ejemplos:    , es decir que todos los racionales propios son todos aquellos mayores que 






LOS NÚMEROS RACIONALES Y LA RECTA NUMÉRICA

A cada conjunto de racionales equivalentes, le corresponde un único punto en la recta numérica y todo número racional puede ser representado en la recta numérica.

Si el número es positivo, este se ubicará a la derecha del cero y si el racional es negativo, este se ubicará a la izquierda del cero.

En la representación, el denominador indica el número de partes en el que se debe dividir cada unidad, y el numerador indica cuantas de esas partes se deben tomar.

Ejemplos: a. Representar en la recta numérica el numero
Como el número es positivo indica que está a la derecha del cero.

1. Se debe dividir cada unidad en 3 partes iguales.

       -4            -3             -2             -1               0              1              2              3        

2.  Se toman 5 partes iniciando desde el primer tercio siguiente al cero.

       -4            -3            -2              -1               0              1          2              3        
b.  Representar en la recta numérica el número
Como el numero es negativo indica que está al a izquierda del cero.

1. Se debe dividir cada  unidad en 4 partes iguales.

        -3                 -2                  -1                    0                   1                    2                      

2.  Se toman 9 partes iniciando desde el primer cuarto siguiente al cero.

       -3          -2                  -1                    0                   1                    2                      




Representa en la recta numérica los siguientes números racionales:



NUMERO
RECTA


     














1. ADICION Y SUSTRACCION DE RACIONALES:
Para la adición o sustracción entre números racionales, debemos estudiar tres casos:

Caso 1: Si los denominadores son iguales, entonces el nuevo denominador es el mismo y sumamos o restamos los numeradores:

Ejemplos:   a)                     b) 

Caso 2: Si los denominadores son diferentes pero uno es múltiplo de los otros, entonces nuestro nuevo denominador es aquel que es múltiplo de los demás.

Ejemplo:   (16 es múltiplo de 8)

Ahora para hallar el numerador debemos seguir los siguientes posos:

1. Tomamos el Denominador seleccionado y nos dirigimos a la primera fracción, lo dividimos en su denominador y lo multiplicamos por el numerador así:
La primera fracción es  el denominador escogido es 16, entonces 16  8 = 2 y ahora lo multiplicamos por su numerador 2 x 5 = 10.

2. Realizamos el mismo proceso con la otra fracción y sumamos los resultados, entonces el ejemplo queda de la siguiente manera: 

Caso 3: Cuando los denominadores son diferentes y primos relativos entre si (que uno no es múltiplo del otro), entonces el nuevo denominador es el producto de los denominadores, y el numerador es la suma del producto en cruz, o sea, numerador con denominador y denominador con numerador, Así: 

                                                   



1. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones de racionales:

a.                    b                  c.  

d.               e.                       f. 

g.          i.        j.         
k.            l.         m.        
2.  Resuelve los siguientes problemas:

a. Rosario debe realizar un trabajo en tres días. El primer día realiza  del total, el segundo día realiza  del total y el tercer día otros  del trabajo. ¿Alcanzó Rosario a cumplir con su compromiso. ¿En caso de que no alcanzara, cuanto le falto por realizar?

b. De un tanque de gas se gastó  en la primera semana,  en la segunda, y  en la tercera. ¿Qué fracción del contenido del tanque se consumió durante las 3 semanas? ¿Qué fracción de gas queda por utilizarse?

c. Un joven reparte  de sus dulces a un amigo, luego  a sus hermanos y finalmente  a su novia. ¿Qué fracción de dulces repartió? ¿Qué fracción de dulces le quedó?

d. Un cuarto de hora corresponde a 15 minutos y a un ángulo de 90º en un reloj. Entonces,  de hora, ¿Cuántos minutos son?¿A que ángulo equivale?





2. MULTIPLICACION Y DIVISION DE RACIONALES:

MULTIPLICACION: El producto o multiplicación de dos racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.
 También puede denotarse como

Ejemplos:  a.          

                  b.    

DIVISIÓN: Para dividir dos fracciones, se multiplica la fracción por  el reciproco o inverso multiplicativo de la otra fracción. El recíproco de una fracción    es 

 También puede denotarse como
Ejemplos: a.                Divisor  cuyo inverso es
Luego:
Lo anterior se puede realizar multiplicando directamente en cruz.

b. 



1. Resuelve las siguientes operaciones:

a.   

b.  


c. 

d.


f.
g.  

2.  Resuelve el siguiente problema:
Un padre reparte sus propiedades entre sus 5 hijos. A, B, C, D y E. Al hijo mayor (A), le correspondió la mitad de todos los bienes; al segundo (B) le  correspondió la mitad de los que recibió A; al tercero (C), la mitad de lo que recibió B; al cuarto (D), la mitad de lo que recibió C y al menor (E), la mitad de lo que recibió D.

Del total de las propiedades del padre:
a. ¿Qué fracción le correspondió a A?
b. ¿Qué fracción le correspondió a B?
c. ¿Qué fracción le correspondió a C?
d. ¿Qué fracción le correspondió a D?
e. ¿Qué fracción le correspondió a E?
f. ¿Se repartieron todas las propiedades del padre?,si falto algo por repartir a ¿Qué fracción equivale?.


LOS  NUMEROS DECIMALES

Los sistemas de numeración son formas inventadas por las diferentes culturas para nombrar y representar números; aunque cada uno de ellos tiene una simbología particular, todos establecen procedimientos y reglas para realizar cálculos con los números. 

Estudiar los sistemas de numeración permite comprender la ingeniosa estructura que hay detrás de todas las operaciones aritméticas y entender que estos son la base de los cálculos de los computadores actuales.

El sistema de numeración decimal fue adoptado universalmente a partir de la edad media, aunque había sido descubierto por la cultura Hindú siglos atrás. Los griegos quienes fueron matemáticos muy habilidosos no llegaron a inventar un buen sistema  de notación para números naturales a pesar de los esfuerzos de personajes tan brillantes como Arquímedes. 

Los matemáticos que más contribuyeron a la aparición  de los números decimales fueron el francés Francisco de Vieta (1540 – 1603) y el belga Stevin (1548 – 1620), quienes desarrollaron las fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Sin embargo, fue el matemático escocés John Neper (1550 – 1617), famoso por otro descubrimiento, el de los logaritmos, el que propuso la forma en que los números decimales se escriben actualmente.

Un número decimal consta de una parte entera y una parte decimal, las cuales están separadas por una coma.

La primera cifra después de la coma se llama décima; la segunda, centésima; la tercera milésima; la cuarta diezmilésima; la quinta, cienmilésima; la sexta millonésima y así sucesivamente.

Ejemplos: a.  5,7 se lee: 5,7 décimas.
b.    8,35 se lee: 8,35 centésimas.
c.    10,587 se lee: 10,587 milésimas.
d.    85,1598 se lee. 85,1598 diezmilésimas.
e.    965,87620 se lee: 965,87620 cienmilésimas
f.     78,896102 se lee: 78,896102 millonésimas
Los números decimales son el resultado de la división o cociente entre dos números  enteros ó de un número racional. Por tal razón los números decimales también  son racionales

Ejemplos: a.              b.                  c.



                 d.              e.                          f.

                                                                                                                          
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS  DECIMALES:

Los números decimales se clasifican en dos grandes grupos:

DECIMALES FINITOS: También son llamados decimales exactos, y son aquellos que tienen un número finito de cifras después de la coma.

Ejemplos: a.  10, 58            b.   6,741           c. 210,0569       d.  158,6396

DECIMALES INFINITOS: También son llamados decimales periódicos y son aquellos que  poseen un número infinito de cifras después de la coma. Para simbolizar que efectivamente no tienen fin se marca la(s) cifras con una línea o arco encima. Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos subgrupos:

v  DECIMALES PERIÓDICOS PUROS: Son aquellos cuyo(s) número(s) siguiente(s) a la coma son los únicos que aparecen indefinidamente.

     Ejemplos: a.                         b.                      c.   


v  DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS: Que pueden repetirse indefinidamente aun sin ser los siguientes a la coma.

     Ejemplos: a.                    b.                    c.   
EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL:

Para expresar un numero racional como uno decimal, basta con realizar la división o cociente entre los números enteros que la conforman.

Ejemplos:   a.             b.                         c.

                  
                   d.             e.                     f.

EXPRESIÓN RACIONAL DE UN NÚMERO DECIMAL:

Así como los números racionales se pueden expresar en forma decimal, los números decimales originados por una  fracción decimal o los decimales periódicos se pueden expresar en forma racional.

DECIMAL FINITO: Si el decimal tiene un número finito de cifras decimales, como es el caso de 5,13; podemos expresarlos como racional de la forma , con el siguiente proceso:

1. Leemos el número de acuerdo a las cifras después de la coma:

5,13 se lee como 5,14 centésimas

2. De acuerdo a lo leído procedemos así:

Expresamos el número racional cuyo denominador es potencia de 10 y como el número decimal es 5,14 centésimas lo expresamos de la siguiente forma:

  , al tratarse de centésimas se toma el numero completo, sin coma y se divide entre 100.

Ejemplos: a.       b.       c.

Encuentra una expresión racional para los siguientes números decimales finitos:

EXPRESION DECIMAL
EXPRESION RACIONAL
8,32


9,159


18,9


155,954


0,1


3,52


0,0895


7,89512


49,456201


8,00951


0.0000001


101,10100


7896,512014


0,0126058


2,1563200


97,65002500


1,0123450


0,002500980047


DECIMAL INFINITO: Cuando el decimal es infinito, se debe tener en cuenta si esta es decimal periódico puro o periódico mixto.

v  DECIMAL PERIÓDICO PURO: Cuando un decimal infinito, cuyo periodo se inicia en seguida de la coma decimal, la expresión racional se obtiene así:

     Ejemplo: Encontrar la expresión racional del numero    
    
    Solución: 1. Llamamos X el decimal que queremos expresar en forma racional:

                    X =

                    2. Se cuenta la cantidad de decimales que forman el periodo:

                    En este caso son 2 (23)

                    3. Hallamos el resultado de elevar el número 10 por esa cantidad:

                    102 = 100
      
                     4. se multiplica la potencia calculada por el número X:

                     100X = 423,2323

                   5. Se resta el numero X del decimal obtenido en paso anterior.           Observa que las cifras decimales desaparecen por ser idénticas:

                    100X = 423,2323…

                    100XX = 423,2323… – 4,2323… 

                     99X = 419

                    6. Se despeja el valor de X, como si se tratara de una ecuación:
  
                    99X = 419

                    X =  la cual es la fracción generatriz del numero 4,2323….
v  DECIMAL PERIÓDICO MIXTO: El procedimiento para expresar en forma racional un numero decimal periódico mixto se ilustra en el siguiente ejemplo:

Expresar en forma racional el decimal 

1. Determinar la parte entera, el ante período y el periodo del número:

            0 Parte entera

            041 Ante período

            6… Periodo

            2.  Se toma el número entero conformado por la parte entera el        ante período y el periodo  y se resta con el número entero conformado solamente por la parte entera y el ante período:
 
           00416 - 00 41, es decir:   416 – 41 = 375

      3. Se tome el resultado de la resta y se divide por un número que siempre va a iniciar en 9, y los otros números son tantos ceros como tenga el ante período:

     X , se divide en 900 por que el periodo tiene una sola cifra y por que el ante período tiene dos cifras  lo que explica que sean 2 ceros.
    
            El siguiente ejemplo nos muestra le proceso simplificado: 

           Encuentra la fracción generatriz del número   
         
           1 paso.     1parte entera              04 ante período             75 periodo

           2. paso.   104 75 – 104 = 10371

      3. paso.   , dos 9 porque el periodo tiene 2 cifras y dos 0 porque el ante período tiene 2 cifras.



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